Sistemi a massa variabile e dissertazione sui
missili
a cura di
Gaetano G. Perlongo
(1996)
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Propongo in questa sezione ipertestuale
una lezione, tenuta nella biblioteca dell'Istituto di Fisica Sperimentale
dell'Università degli Studi di Palermo, subordinata ai sistemi a massa
variabile con relativa dissertazione nel campo missilistico. |
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(...) (II)
Quando un sistema materiale ha massa costante, basta conoscere il risultante
Per illustrare come questa relazione possa essere
usata nel caso generale cominciamo col considerare un esempio notevole, cioè
un razzo la cui propulsione derivi dalla espulsione ad alta velocità dei
propellenti di combustione del propellente. Descriviamo il fenomeno in un
sistema di riferimento inerziale che per brevità chiameremo sistema di
laboratorio. Se
dove
per
cui
Dividendo
per
Considerato che la variazione di massa M del
razzo è dovuta proprio alla espulsione di propellente (dm=-dM), si ha:
per
cui l'equazione (5) diviene:
relazione
che sostituita nella (1) fornisce infine:
In realtà la (8) vale in generale, sia nel caso
che il sistema espelle massa sia nel caso che esso riceva massa
dall'ambiente: la differenza nei due casi sta solo nel diverso andamento di
Si ha inoltre
sapendo
le variabili si ha:
e
integrando fra l'istante iniziale t0 e l'istante t:
da
cui
e
dunque infine:
dove
Esempio) (III)
Il veicolo spaziale Saturn V lanciato dagli Stati Uniti nell'ambito del
programma Apollo, che il 20 luglio 1969 portò un uomo sulla luna, è stato uno
dei veicoli spaziali più grandi mai realizzati. I razzi del suo primo stadio
avevano una spinta di 34 MN e, prima dello spegnimento e del successivo
distacco del primo stadio, erano in grado di bruciare ben 13.8 t di
combustibile al secondo per un totale di 150 sec. La massa iniziale totale
era di 2850 t. Trascurando la resistenza dell'aria e la gravità, calcolare la
velocità di Saturn V al momento dello spegnimento del primo stadio. Essendo il tasso di consumo del combustibile
Accenno ad alcune questioni tecniche
sui missili (I) Come abbiamo visto le
caratteristiche fondamentali del razzo sono sintetizzate nella formula (14):
Se con Mpr si indica la massa del propellente è
ovvio che
Per |
delle forze esterne, per calcolare
l'accelerazione del centro di massa del sistema. Se il sistema materiale non
ha massa costante, è invece necessario ricorrere direttamente alla prima
equazione cardinale della dinamica:
è la quantità di moto del razzo
all'istante t, si ha:
e 
sono
rispettivamente massa e velocità del razzo all'istante t. Nell'intervallo
elementare di tempo 
a partire da t, sia dm la quantità di
materia espulsa dal razzo e sia 
la velocità media
nel laboratorio del materiale espulso. Poiché l'espulsione di massa avviene
in virtù di forze interne, per il 3° principio della dinamica, essa non
produce variazione di quantità di moto del sistema (razzo+materiale espulso);
e dunque la derivata della quantità di moto 
del sistema
(razzo+materiale espulso) dovrà essere uguagliata al risultante 
, si ha:
) nonché nel diverso valore di v. Per
avere un maggior background sul comportamento del razzo, si preferisce
conoscere la variazione della velocità del missile, in funzione del
propellente espulso. Nell'ipotesi che il moto avvenga in una sola dimensione
(sia essa la direzione dell'asse delle x) per cui la (8) si riduce
(considerato che 
) all'equazione scalare:
: infatti la
suddetta differenza rappresenta la velocità del propellente rispetto al
razzo, e sappiamo che tale velocità relativa è negativa (perché opposta al
moto) e in modulo pari a VR. Per cui:
e 
rappresentano
rispettivamente la velocità del razzo e la sua massa all'istante iniziale
t=t0. Se si suppone che la massa del missile sia una funzione lineare del
tempo, cioè che si abbia 
, dove 
è il
tasso di consumo del combustibile, l'equazione (14) può essere scritta nel
seguente modo:
, la velocità di uscita del gas
combusto al momento dello spegnimento del primo stadio è 
cioè
. La 
massa del
propellente) M=2850-2076=774 t e la velocità corrispondente è di 3203 m/sec.
(
il 
da
cui 
, seguendo lo
stesso ragionamento su esposto, dovrebbe essere 
; per 
, 
, e così via. Ma
già la seconda condizione è al limite delle possibilità tecniche di
attuazione. Non è certo obiettivo di questo lavoro nel soffermarsi sui
numerosi e complessi problemi ingegneristiche che si presentano nella
costruzione di un razzo. Tuttavia, si può generalmente dire che essi sono
collegati alle esigenze espresse dalla (14) e condizionate dalla scelta del
propellente.
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A chiusura di questo modesto lavoro,
che sintetizza il mio interesse nel campo dell'astronautica, sento
il dovere di ringraziare il personale della biblioteca dell'Istituto
di Fisica Sperimentale dell'Università degli Studi di Palermo, per
avermi messo a disposizione il materiale bibliografico. |
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·
(II) Menucci, C., Silvestrini, V., Fisica 1,
vol.1, Bollati-Boringhieri, Milano; ·
(III) Roller, D.E., Blum, R., Fisica, vol.1,
Zanichelli, Bologna, 1984. |