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A spasso con due geodediche:
Tunnel ipocicloidale
19 gennaio 1994 [...] La lezione odierna è finalizzata a far vedere
come il calcolo delle variazioni, si
presti ad un elegante problema di ingegneria: Studiare quale forma
attribuire ad un tunnel per un sistema transito-rapido che collega
i punti A e B del globo terrestre, sfruttando come fonte propulsiva
l'accelerazione gravitazionale g (si trascurino gli attriti).
Iniziamo col determinare l'equazione della forza
gravitazionale in funzione della componente radiale. Con ovvi passaggi si ha:
dove m1 è la massa del mezzo mobile, g
l'accelerazione, r il raggio dinamico terrestre e R il raggio medio della
terra. Dalla suddetta forza possiamo ricavare il corrispettivo potenziale
gravitazionale, attraverso la seguente integrazione:
di cui la funzione V(r) è valida per
di cui ds (il differenziale della lunghezza AB)
espresso in coordinate polari sferiche, corrisponde:
Inoltre la velocità v, dal principio di
conservazione dell'energia, può essere sritta nel seguente modo:
Pertanto
Quindi l'equazione della curva, definita
nell'intervallo compreso fra i valori x1 e x2, corrisponde all'integrale di linea della funzione
Dal formalismo Lagrangiano si ha:
di cui segue che:
La soluzione generale della langrangiana, che ci
permette di definire quale forma attribuire al tunnel su esposto,
è una curva parametrica ipocicloidale (dimostrazione). © copyright, Gaetano
G. Perlongo
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. Per minimizzare il tempo di
percorrenza dai punti A e B (vedere la figura 1), bisogna quantificare 
. La siffatta valutazione può
essere stimata definendo, formalmente, la velocità (di regime) di percorrenza
lungo il tratto AB: 
. In
corrispondenza alla funzione cercata, l'integrale 
deve assumere un
valore minimo. La variabile x prende qui il posto del parametro t (tempo):
